Образование

КУРС
Математические методы в физике

Успешная карьера в физике невозможна без глубокого знания ее языка – математики. Цель курса – научить базовым математическим методам, используемым в современных разделах физики: физике конденсированного состояния, теории неупорядоченных систем, физике наноструктур пониженной размерности и т.д. Курс ориентирован на развитие математического мышления и умения применять хорошо разработанные математические приемы для решения распространенных типов задач физики. Занятия проводятся в виде семинаров, на которых даются теоретические основы  используемых математических методов, а затем разбираются примеры решения задач. Рассматривается широкий круг вопросов от теории функций комплексной переменной и специальных функций до избранных вопросов теории перколяции и основ теории групп.

Язык обучения
Английский
Содержание программы

I. Theory of functions of a complex variable

1) Functions of a complex variable, a mapping and a branch point, limit and continuity of functions of a complex variable, derivative of a function of a complex variable, Cauchy-Riemann condition. 

2) Integration of the function of a complex variable, singular points, Laurent series, residue theorem. 

3) Сonformal mapping. 

II. Calculation of integrals and special functions

1) The use of symmetry in the calculation of integrals of a function, integrals of even and odd functions, integration over a contour, Jordan's lemma. 

2) Gamma function, Beta function, error function, integral exponential function, integral cosine and sine.

3) Solution of the Laplace equation in cylindrical and spherical coordinates, Bessel functions and their properties, spherical functions and their properties. 

III. Approximate methods in physics

1) Asymptotic series, approximate methods for solving algebraic equations, the method of steepest descent (stationary phase method). 

2) Quasiclassical approximation in quantum mechanics (Wentzel-KramersBrillouin method). 

3) Variational methods in quantum mechanics. 

IV. Disordered systems and nonlinear phenomena

1) Percolation (percolation) in a lattice with defects, site percolation problem, bond percolation problem, clusters, percolation transition for various types of lattices. 

2) Non-linear Schrödinger equation, tackling infinities in physical systems.  

3) Linearization of nonlinear systems of differential equations, singular points of the phase space of a nonlinear dynamical system, bifurcation, attractor of a dynamical system.

V. Integral transformations and integral equations

1) Fourier transform, delta function and Green function. 

2) Laplace transform, types of integral equations and methods for solving them. 

VI. Group theory and its applications

1) Definitions and properties of an abstract group, conjugacy classes, translational and rotational symmetry groups and the associated conservation laws, the Bloch theorem, the Wigner theorem, point symmetry groups. 

2) Representations of groups and their properties, character of representation, product of representations, selection rules, method of invariants.

 

I. Теория функций комплексной переменной

1) Функции комплексного переменного, отображения и точки ветвления, предел и непрерывность функций комплексной переменной, производная от функции комплексной переменной, условия Коши-Римана. 

2) Интегрирование функции комплексной переменной, особые точки, ряды Лорана, теорема о вычетах.

3) Конформное преобразование 

II. Вычисление интегралов и специальные функции

1) Использование симметрии при вычислении интегралов от функции, интегралы от четных и нечетных функций, интегрирование по контуру, лемма Жордана.

2) Гамма-функция, Бета-функция, функция ошибок, интегральная показательная функция, интегральные косинус и синус.

3) Решение уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах, функции Бесселя и их свойства, сферические функции и их свойства.

III. Приближенные методы в физике

1) Асимптотический ряд, приближенные методы решений алгебраических уравнений, метод перевала (метод стационарной фазы).

2) Квазиклассическое приближение в квантовой механике (метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна).

3) Вариационные методы в квантовой механике.

IV. Неупорядоченные системы и нелинейные явления

1) Протекание (перколяция) по решетке с дефектами, задача узлов, задача связей, кластеры, перколяционный переход для различных типов решеток.

2) Нелинейное уравнение Шрёдингера, оперирование бесконечностями в физических системах.

3) Линеаризация нелинейных систем дифференциальных уравнений, особые точки фазового пространства нелинейной динамической системы, бифуркация, аттрактор динамической системы.

V. Интегральные преобразования и интегральные уравнения

1) Преобразование Фурье, дельта-функция и функция Грина.

2) Преобразование Лапласа, типы интегральных уравнений и методы их решения.

VI. Теория групп и ее приложения

1) Определения и свойства абстрактной группы, классы сопряженности, группы трансляционной и вращательной симметрии и связанные с ними законы сохранения, теорема Блоха, теорема Вигнера, точечные группы симметрии.

2) Представления групп и их свойства, характер представления, произведение представлений, правила отбора, метод инвариантов.

Список литературы

[1] Arfken G.B. and Weber H.J. (2001), Mathematical methods for physicists (5th edn.), Academic Press, ISBN 0-120-59826-4.

[2] Mathews J. and Walker R.L. (1970), Mathematical Methods of Physics (2nd edition), Benjamin, ISBN 0-805-37002-1.

[3] Spiegel M. R., Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, (Chapter 13: Complex Variables and Conformal Mapping).

[4] Spiegel M.R., Complex Variables, (any edition), McGraw-Hill.

[5] Stauffer D. (1985), Introduction to Percolation Theory, Taylor and Francis, ISBN 0- 850-663156 (UL: 530.13 STA).

[6] Efros A.L. (1986), Physics and Geometry of Disorder, Mir Publishers.

[7] Anselm A. (1981), Introduction to Semiconductor Theory, Mir Publishers.

Дополнительные документы